Jan 252017
 

Mit zwei siebten Klassen haben wir letzte Woche den von Nils Buchholtz entwickelten Mathematischen Stadtspaziergang Hamburg für Klasse 7 zum Thema Prozentrechnung durchgeführt. Dieser entstand als Forschungs- und Entwicklungsprojekt zum außerschulischen Lernen des Arbeitsbereichs Didaktik der Mathematik der Universität Hamburg.

Das vorbereitete Material kurz bevor es losging.

Im Material heißt es zu den Zielen des Vorhabens: “Der mathematische Stadtspaziergang Hamburg verfolgt das Ziel, Schülerinnen und Schülern zu ermöglichen, Mathematik außerhalb des Klassenzimmers anzuwenden und Mathematisierungskompetenzen zu erwerben. Ein Grundgedanke ist dabei, dass Schülerinnen und Schüler mathematische Aufgaben und Probleme an speziell ausgezeichneten Objekten in der Stadt oder in der Umgebung durch Abschätzung oder Messung von realistischen Größen lösen und dazu selbstständig mathematische Modelle aufstellen.” Continue reading »

Sep 172015
 

Am zweiten Tag der Fortbildung haben wir uns zunächst mit Ableitungen (derivado) von Funktionen beschäftigt und Formen, wie dies einsichtig gelehrt werden kann, ohne formale Definitionen überzustrapazieren. Der Referent zeigte zwei kleine Videos, die sich auf youtube finden lassen, eines eingängig als Song (“I will derive“), das andere eher historisch-problemorientiert. Ein Hinweis einer Kollegin bezog sich auf die online SoftwareSymbolab“, mit der sich (nicht nur)  Ableitungen berechnen lassen. Continue reading »

Sep 152015
 

Heute ist es soweit, ich bin das erste mal auf einer offiziellen Fortbilung des IB (international baccalaureate / bachillerato internacional) im Fach Mathematik für das mittlere Niveau auf Spanisch. Ich und ein weiterer Kollege aus dem Fachbereich Mathematik sind drei Tage in Guayaquil, um mit Kolleg/innen anderer IB-Schulen über Vorgaben und  Bewertungsgrundlagen aber auch didaktische Konzepte und Problemoriertierung zu sprechen. Continue reading »

Apr 262015
 

In den Osterferien hatte ich einmal Zeit und Lust, mich ein bischen mit Theorie und Unterrichtsmethodik zu beschäftigen, hab das Buch von Hilbert Meyer zu Unterrichtsmethoden gelesen und wollte einmal ein paar Gedanken dazu veröffentlichen. Das Standartwerk ist nun schon ziemlich alt und in vielen Auflagen erschienen und beinhaltet viele Anregungen, die auch nach dem Referendariat immer wieder helfen, die Unterrichtspraxis kritisch zu reflektieren. (H.Meyer, UnterrichtsMethoden, II: Praxisband. Frankfurt/M. 1987 (mehrere Auflagen), ISBN 3-589-20851-1)

Mir gefällt besonders der handlungsorientierte Ansatz und die Betonung der Sicht der SuS. Die Lernlandkarten zur Visualisierung finde ich einen guten Ansatz, auch wenn sie mir manchmal etwas unübersichtlich erscheinen. Es drängt sich förmlich auf, sie mit digitalen Medien zu visualisieren.

Aber ich habe auch einige Schwierigkeiten in Bezug auf meine aktuelle Unterrichtspraxis, d.h. auf Matheunterricht in der Oberstufe und Physik in der Mittelstufe, und die im Buch aufgeworfenen Theorien ausgemacht, die ich im Folgenden beschreibe. Natürlich lässt sich das Thema nicht erschöpfend in einem Blogbeitrag behandeln, daher bin ich über Anregungen und Kritik generell dankbar. Ich hoffe vor allem Kolleginnen und Kollegen mit Beiträgen wie diesem anregen zu können. Continue reading »

Feb 122015
 

In meinen zehnten Klassen habe ich ja vor kurzem angefangen, einge Arbeitsblätter zu konzipieren. Hier folgen nun Teil zwei und drei sowie ein kleiner Test, den ich gerade abschliessend schreiben lassen habe. Alles auf spanisch, aber vom Konzept her übertragbar. Außerdem hatte ich noch Steckbriefe in Zweiergruppen auf A3 anfertigen lassen, um ein paar Beispiel-Graphen in einer Galerie in die Klasse hängen zu können.Dabei habe ich die Funktionsvorschrift vorgegeben sowie ein Beispiel-Poster. Continue reading »

Jan 292015
 

Gerade immer noch bei Potenzfunktionen habe ich ergänzend zum Arbeitsbuch “matemáticas para todos” für die 10.Klasse einmal angefangen, eigene Arbeitsblätter zu gestalten, die kleinschrittiger aber auch ergänzt um differnzierte Angebote nach oben sein sollen. Continue reading »

Feb 212013
 

Als Gegenstand zur Vorbereitung der lokalen Änderungsrate habe ich gestern eine Stunde in der Vorstufe durchgeführt, die problemorientiert die Ermittlung von Steigungen auf verschieden großen Intervallen eines Graphen motivierte. Anhand eines aktuellen Zeitungsartikels zu geplanten Roboter-Einsätzen auf dem Mond, um in tiefen Kratern nach Wasser zu suchen wurde die Leitfrage aufgeworfen, welche Krater ein solcher Roboter mit einer gewissen Steigfähigkeit wieder verlassen kann. Anhand gegebener Graphen ermittelten die Schüler/innen zeichnerisch mehrere durchschnittliche Steigungen und präsentierten diese per Overhead-Folie. Trotz moderner Medien habe ich mich für die Arbeit mit solchen Folien entschieden, da sie während der Erarbeitung in Gruppen problemlos nebenbei gestaltet werden können. In der anschließenden Diskussion wurde thematisiert, wie eine maximale Steigung angenähert werden kann, um damit die lokale Änderungsrate als Ergebnis einer Grenzwert-Betrachtung immer kleinerer Intervalle zum Differenzenquotienten vorzubereiten. Abschließend wurde das Erlernte mit einem einfachen Lückentext und einer Hausaufgabe gesichert.

Als Aufhänger verwendete ich einen Zeitungsartikel zum Roboter-Einsatz auf dem Mond vom Handelsblatt. Das Deutsche Forschungszentrum für Künstliche Intelligenz (DFKI) forscht in Bremen seit Jahren an Robotern, die möglichst energiesparend und beweglich für Forschungen auf dem Mond eingesetzt werden sollen. Durch eine Impulsfrage von mir als Lehrer zu den Herausforderungen eines solchen Robotereinsatzes auf dem Mond sollten die Schüler/innen sich eigenständig der Leitfrage nähern, aber auch weitere wichtige Fragen im Kontext darstellen können.

Ich habe mich entschieden, den Schüler/innen drei Graphen zur Betrachtung zu geben, um einerseits motivierende Teilergebnisse zu sichern, da zwei der drei Graphen bereits sehr schnell eindeutige Aussagen zulassen. Der dritte Graph sollte dann analog zu den einfacheren ersten beiden bearbeitet werden und ist so konzipiert, dass er höhere Anforderungen mit sich brachte. In erster grober Näherung liegt die Steigung des dritten Kraters unter der Steigfähigkeit des Roboters, auf einigen kleinen Intervallen ist die Steigung dann aber über dieser, so dass er diesen Krater nicht verlassen kann. Somit wurde den Schüler/innen durch die Aufgabenstellung nahegelegt, kleinere Intervalle zu betrachten.

Arbeitsblatt Seite1

(Bildnachweise für das Arbeitsblatt: Roboter-Screenshot vom DFKI, Mondkrater unter public domain von der NASA)

Arbeitsblatt Seite2

(Bildnachweise: Eigene Produktion)

Eine der drei Präsentationsfolien

In der Nachbetrachtung hat sich das Problem des Roboter-Einsatzes als Unterrichtsgegenstand gelohnt, die Schüler/innen waren interessiert bei der Sache und die Leitfrage war einfach verständlich und damit der Arbeitsauftrag klar. Nach der Präsentation zielte ich mit einer Frage zur notwendigen, hypothetischen Steigfähigkeit eines Roboters zur Bewältigung eines gegebenen Kraters auf die Ermittlung der maximalen Steigung des Graphen. Diese kann nur als punktuelle Steigung sicher berechnet werden und somit wurde die Betrachtung lokaler Steigungen in den folgenden Stunden vorbereitend motiviert.

Materialien:

Arbeitsblatt-Gruppenarbeit (pdf)

Folie-A (pdf)

Folie-B (pdf)

Folie-C (pdf)

Arbeitsblatt-Lueckentext (pdf)

Arbeitsblatt-Hausaufgabe (pdf)

Feb 092013
 

Als Vorbereitung auf den zentralen Begriff der Differentialrechnung, die Ableitung, habe ich die letzten Wochen im Mathematik-Unterricht der Vorstufe die Interpretation von Wertetabellen und Graphen geübt. Mit einer Aufgabe, die als Extremwertaufgabe mit der Ableitung direkt lösbar wäre, habe ich den Tiefpunkt per Wertetabelle und per grafischer Abschätzung bestimmen lassen. Die Aufgabe hierzu (Horizontalflug) habe ich von einem Kollegen empfohlen bekommen. Sie sind auch online erhältlich bei Frank Nordheim, der (seinen Schüler/innen) auch weitere Materialien zur Verfügung stellt.

ein Ausschnitt aus dem Material von Frank Nordheim

Die Aufgabe hierzu war, den Graphen zur Funktionsgleichung zu zeichnen, die Geschwindigkeiten zu einer gegebenen Leistung zu bestimmen sowie die Geschwindigkeit zur minimalen Leistung. Es gab Schwierigkeiten der Schüler/innen, zu erkennen, dass mit einer Ausnahme immer zwei Geschwindigkeiten zu einer Leistung gehören, da “wenn ich in die Formel nur eine Leistung einsetze ja auch nur eine Geschwindigkeit da steht”  Rechnerisch gehören bei einer quadratischen Funktion überwiegend zwei Lösungen zu einem Funktionswert, wobei scheinbar auch der Sachkontext verwirrte, in dem festgelegt war, dass für einen Flug mit sehr langsamer Geschwindigkeit ebenfalls höhere Leistung benötigt wird. Auch der Wechsel von einer “klassischen” quadratischen Gleichung mit x und y als Variablen zu v und P(v) gestaltete sich als Hürde. Allerdings wurde in der Diskussion dann auch mit Hilfe einer geogebra-Visualisierung Klarheit geschaffen.

Eine Lösungsvariante zur Aufgabe

Im gleichen Kontext hatte ich vor, die Nützlichkeit von Tabellenkalkulations-Programmen zu zeigen, indem ich über eine Funktion, beispielsweise in Libre Office Calc Werte in immer kleineren Intervallen schachteln lasse. Hierzu bin ich zeitlich leider nicht mehr gekommen.

In einer Tabellenkalkulation lässt sich ein Extremwert durch Intervallschachtelung annähern, ohne eine Grafik erstellen zu müssen.

Zusätzlich habe ich als Wiederholung die beiden Punkte zur gegebenen Leistung von 32,5 Ps mit Hilfe der Funktionsgleichung und der quadratischen Ergänzung lösen lassen:

P(v) = 32,5 Ps = 1/160 v^2 – 3/2 v + 120

v^2 – 240 v + 14000 = 0

usw.

Als Sicherung habe ich zwei Versionen eines Arbeitsblattes ausgegeben, das jeweils die Lösung auf der anderen Version vorgegeben hat, um die Vernetzung der Darstellungsformen Wertetabelle und Graph zu stärken.

Ausschnitt des Arbeitsblattes Version A

Hier sind die Materialien zum weiterverwenden: Material-Darstellung-Tabelle-Graph.zip

Jan 172013
 

Diese Woche habe ich eine Hospitationsstunde in der 11.Klasse recht erfolgreich umgesetzt.

Gegenstand der Stunde war ein Text aus dem Bereich meiner Ausbildung. Hierzu hatte ich einleitend einige Folien zum Problemlösen mit Mathematik und zu meiner Ausbildungsstätte, dem DESY (Deutsches Elektronen Synchrotron) und dem Arbeiten an mechanischen Fertigungsmaschinen im Unterrichtsgespräch eingebracht. Leider kann ich die verwendeten Fotos aus Lizenzgründen nicht auf meinem Blog veröffentlichen, aber bei der Eingabe von DESY in Suchmaschinen lassen sich auch so viele interessante Bilder finden.

Anschließend an die Problematisierung verteilte ich Arbeitsblätter in die Kleingruppen und gab den Auftrag, eine Präsentationsfolie vorzubereiten. Dies hatte gegenüber dem Smartboard oder Postern den Vorteil, dass sie zügig beschriftet werden kann und in der Gruppe am Tisch direkt zur Verfügung steht. Es gibt doch immer wieder auch gute Gründe, nicht die modernste, sondern die passendste Technik einzusetzen.

Hier ist die Aufgabenstellung, die zentral für die Stunde war:

Planung der Produktion von Maschinenbauteilen
In einer Firma, die Maschinenteile herstellt gibt es eine Bandsäge, eine Fräsmaschine und eine Drehbank.
Die Bandsäge steht aus betriebsinternen Gründen 9000 Minuten pro Woche zur Verfügung,
die Fräsmaschine 5200 Minuten und die Drehbank 5100 Minuten.
Es sollen drei Maschinenteile hergestellt werden (eine Kegel, ein Flansch und eine Welle).
Der Kegel benötigt 2 Minuten an der Bandsäge, 4 Minuten an der Fräsmaschine und 7 Minuten an
der Drehbank je Stück. Der Flansch benötigt 8 Minuten an der Bandsäge, 6 Minuten an der
Fräsmaschine und keine Zeit an der Drehbank je Stück. Die Welle benötigt 6 Minuten an der
Bandsäge, 1 Minute an der Fräsmaschine und 2 Minuten an der Drehbank je Stück.

Aufgabe:
Berechne die Anzahl der Maschinenteile, die in einer Woche hergestellt werden können,
so dass alle drei Maschinen optimal ausgelastet sind.

Der Text war bewusst komplex gestaltet, um das Strukturieren und mathematisieren von Informationen zu fördern. Dies gelang insgesamt auch recht gut. Die Gelenkstelle zwischen Problematisierung und Erarbeitung hatte ich etwas ungeschickt gestaltet und den Austausch über die Ergebnisse konnte nur angerissen werden abe ansonsten war die Stunde sehr erfolgreich. Die Gruppen entwurfen verschiedene Modell und verwarfen sie teilweise wieder, wie es bei Modellierungsaufgaben typisch ist. Die Sicherung holte ich die anschließende Stunde nach, so dass das Thema abgerundet werden konnte. Besonders zur Sinnstiftung halte ich die Aufgabe für günstig, da Lineare Gleichungssysteme meinen Schüler/innen bisher eher als reines Kalkül begegnet sind und sich im Alltag kaum Anwendungen erschließen.

Spannend war auch, dass eine Gruppe auf eine sehr ungewöhnliche Lösung gekommen war, die auch solide Ergebnisse ergab: Sie gingen schrittweise vor, indem sie erst eine Maschine möglichst effektiv mit zwei Bauteilen auslasteten, um die übrig gebliebene Zeit mit dem dritten Bauteil aufzufüllen. Eine Probier-Methode, die die Einsicht ermöglichte, dass unterschiedliche Strategien zum Ziel führen können.

Hier ist das für die Veröffentlichung gekürzte Material inklusive Stundenentwurf: UE Planung Maschinenbau

Sep 032012
 

Da ich mich gerade im Referendariat befinde, veröffentliche ich auch Teile meiner Auseinandersetzung mit der Ausbildung auf diesem Blog.

Vor einigen Tagen habe ich eine Hospitation in der Vorstufe (Klasse 11)  in Mathe durchgeführt und mich dabei unserem derzeitigen (Wiederholungs-)Unterrichtsgegenstand “quadratische Funktionen” problemorientiert genähert. Gar nicht so einfach, wie ich finde, wo quadratische Funktionen im Alltag nicht so üblich zu finden sind wie geometrische oder stochastische Figuren und Konzepte.

Angelehnt an den schriftlichen Überprüfungen Mathematik (pdf) der Klasse 10 in Hamburg  habe ich mich dem Thema “Brückenbau” genähert und eine gelungene Problemstellung gefunden, die sich in verschiedener Ausprägung häufiger auch im Netz findet (wenn bei google “brücke parabel lkw aufgabe” eingegeben wird, erscheinen einige Treffer zu ähnlichen Aufgaben)

Die Problemstellung sollte allerdings durch einen stummen Impuls mit Bild von den Schüler/innen selbst gefunden werden, was auch relativ gut klappte, dann aber zu wenig im Unterrichtsgespräch fokussiert wurde.

“Wie hoch muss eine parabelförmige Brücke konstruiert werden, damit ein LKW gut hindurchpasst?”

Fachlich ist das Problem über die Auswahl einer günstig gestauchten Parabelform zu lösen, für die dann entsprechend ein Funktionswert zu gegebener Breite berechnet wird, der den Höhenabschnitt von LKW Oberseite zum Tunnel-Scheitelpunkt im Betrag ergibt. Eine hohe Hürde stellt die Modellierung dar, aber das mathematische Problem ist im Grunde genommen eine Wiederholung aus der Mittelstufe.

Ich veröffentliche hier auch meinen Unterrichtsentwurf in Teilen, personenbezogene Daten selbstverständlich nicht. Gerade in der Anzahl der Lernziele (viel zu Viele) und in der Genauigkeit der Verlaufsplanung könnte der Unterrichtsentwurf noch einmal kritisch überarbeitet werden. Bei einer offenen Problemstellung muss man auch immer damit rechnen, dass völlig andere als die intendierten Vorschläge zum Thema werden, beim hier eingesetzten Bild beispielsweise Geschwindigkeiten oder geometrische Aspekte. Dabei sollte das “Ostereierraten” vermieden werden, indem auch nicht-intendierte Vorschläge entsprechend gewürdigt werden, aber das Thema der Unterrichtsstunde im Unterrichtsgespräch fokussiert werden. Ich habe mir auch vorgenommen, die Selbstreflexion anders aufzubauen, entweder mit abhak-Kästchen oder mit mehreren Abstufungen zum ankreuzen statt wie in diesem Material geplant mit offenen Feldern. Aber bei allen selbstkritischen Überlegungen, vielleicht hilft er ja der einen oder dem anderen beim Schreiben solcher Entwürfe oder beim Durchführen eines ähnlichen Unterrichtsbausteines.

Materialien:

UE-Morisse-28.08-fuer-blog.odt

Hilfekarten.pdf

zusätzliche-Problemstellungen.pdf

reflexion-mathe-vs.pdf