Jul 132018
 

Nun da das Schuljahr vorbei ist und die Ferien beginnen, finde ich zwischenzeitlich Zeit und Lust, noch ein paar Gedanken loszuwerden. Ich bin gerade in Ecuador, wo ich zwei Jahre als OLK in der Deutschen Schule in Cuenca gearbeitet hatte – ein erster Besuch seitdem wir wieder in Hamburg leben. Hier habe ich viele Impulse bekommen für sprachsensiblen Unterricht und viel über mich selbst gelernt in der Perspektive, “der Andere” zu sein (was schwer zu vergleichen ist mit Migrant*innen in Deutschland, da ich hier im postkolonialen Ecuador viele Privillegien als “weißer” europäischer Migrant hatte, also nicht von Rassismen betroffen bin, wie viele Menschen, die nach Deutschland und Europa kommen).

Ich möchte in diesem Artikel aber nicht über Ecuador oder das Unterrichten an Deutschen Auslandsschulen schreiben, sondern über sprachsensiblen Mathematikunterricht mit Geflüchteten in Hamburg.
Zunächst war meine Lerngruppe, so wie vermutlich viele der internationalen Vorbereitungsklassen (IVK) sehr heterogen in Lernstand, Vorbildung und Tempo, nicht allein fachlich, sondern auch in Bezug auf allgemeine Lernstrategien. Einige Jugendliche hatten vor ihrer Ankunft in Hamburg Mathe-Unterricht, andere seit Jahren nicht. Diese Umstände erfordern einen sehr individualisierten Unterricht, der aber in einer kleinen Lerngruppe, wie ich sie hatte – meist mit einer zusätzlichen pädagogischen Unterstützung – gut leistbar war. Die Klasse wird als 7.Klasse eingeordnet, das Niveau schwankt aber enorm.

Die Themen bauen in der Mathematik nunmal stark aufeinander auf, so dass je nach Bedarf bei dem Rechnen mit Dezimalzahlen, wie in Klasse 7 durchaus üblich, angesetzt werden kann oder eben bei Bruchrechnung oder in einzelnen Fällen auch beim kleinen Einmaleins zurückgesprungen werden muss. Das alles ist kein Problem, da es keinen festen Lehrplan gibt, was so auch sinnvoll ist. Neben diesen eher auf Zahlenbereiche und Grundrechenarten bezogene Inhalte hat es sich angeboten, sowohl das Koordinatensystem und der Umgang mit dem Geodreieck einzubeziehen, als auch erste Erfahrungen mit digitalen Werkzeugen wie Geogebra anzubieten. Figuren zu zeichnen erfordert Konzentration und Feinmotorik und ist eine gute Abwechslung zum kalkülorientierten Hantieren mit Zahlen. Ein Koordinatensystem lässt sich auch prima mit Kreide auf dem Schulhof vorbereiten, um Schüler_innen dann Punkte oder Geraden aufstellen zu lassen. Messen und die Berechnung von Flächen und Volumina bieten einen guten Zugang zur direkten Umgebung und ermöglichen auch das Arbeiten im Freien und das Kennenlernen wichtiger Messgeräte wie Zollstock und Maßband. Eine Doppelstunde haben wir damit verbracht, verschiedene Strecken und Zeiten für einen 40 m Lauf zu messen und diese grafisch darzustellen, um die Darstellung von Daten zu üben und die Interpretation von Grafen, auch von Funktionen anzubahnen.

Ich bin in meinem ersten Durchgang relativ häufig thematisch gesprungen, es gab aber auch immer wieder Wechsel, d.h. Schüler_innen sind gegangen und gekommen, so dass ein “klassischer” Aufbau kaum möglich war. Dies ist aber vielleicht auch eine Chance, den Unterricht stärker zu individualisieren und auf den/die Einzelne zuzuschneiden. Ich denke ein wichtiger Punkt ist neben individuellen Angeboten aber auch Kontinuität und Übung, d.h. viel selber rechnen, zeichnen, handeln. Es ist besonders schwierig, wenn zu hause wenig passiert und Materialien kaum strukturiert verwendet werden, was aber nicht überraschend ist, wenn man sich die Lebenssituation dieser jungen Menschen vor Augen hält. Diese sind geprägt von Unsicherheiten, wenig Struktur und wenig Kontinuität.
Die Fachsprache ist nicht nur für den fremdsprachlichen Fachunterricht eine eigene Herausforderung. Wie Objekte der Mathematik bezeichnet werden ist für die Verständigung wichtig, wichtiger aber erscheint mir noch das inhaltliche Verständnis. Ohne Begriffe wie “Multiplikation” oder “Summe” lässt es sich schwer arbeiten, aber ob es einen “Divisor” gibt oder nicht, ist vielleicht weniger wichtig, als schriftlich multiplizieren und dividieren zu können. Wichtig bei der Einübung von Fachbegriffen erscheint mir das wiederholte Aufgreifen und Hervorheben einer überschaubaren Anzahl von zentralen Begriffen, ohne diese grammatikalisch einzuordnen. Einfache Sprache und Satzbildung (verbal und schriftlich als Tafelbild) ist manchmal gar nicht so einfach, lohnt sich aber sehr für das Verständnis.

Interessant waren hier die Vorkenntnisse einzelner Schüler_innen, die eine andere Schreibweise und Notation gelernt hatten, mit der sie aber ebenso wie mit meinem Vorschlag ans Ziel kommen. Hier habe ich mich bemüht, diese Vorkenntnisse zu stärken und wertzuschätzen und nicht die eine allgemeine Vorgehensweise durchzusetzen.

Ein Schuljahr ist eine kurze Zeit, um Grundlagen zu legen, aber ich denke alle Schüler_innen sind für sich einige Schritte vorangekommen. Manchmal habe ich vorhandenes Material genutzt, z.B. einzelne Seiten aus der “Intro” Reihe, auch einmal Übungen aus unseren “RAAbits”-Ordnern die zu allen Arbeitsblättern Musterlösungen dabei haben, so dass auch recht eigenständiges Bearbeiten mit Musterlösung zum Vergleich möglich ist, d.h. auch, dass Schüler_innen zeitgleich einfach an unterschiedlichen Arbeitsblätter arbeiten können. Außerdem habe ich gelegentlich das Praxishandbuch “Sprachbildung im Mathematikunterricht” verwendet. Viele Grafiken z.B. zur Bruchrechnung lassen sich aber leicht und ohne besondere Vorbereitung per Suchmaschine schnell im Netz finden und verwenden. Manchmal habe ich solche digitalen Grafiken auch abzeichnen lassen, das prägt sich auch besser ein, als diese als Kopie zu erhalten und spart Ressourcen.

Alles in allem gibt es viele Aspekte, die sich gar nicht so von anderem Mathe-Unterricht unterscheiden, vor allem das individuelle motivieren und verschiedene Zugänge und Niveaus einzuplanen. Ich freue mich auf das neue Schuljahr, wo ich voraussichtlich wieder etwas Mathematik-Unterricht in der IVK-Klasse geben werde und damit auch dazu beitragen kann, jungen Menschen in einer schwierigen Situation Wertschätzung und Bildungsangebote zu geben.

Notizen eines Schülers zu Fachbegriffen

 

Ein Teil des Tafelbildes zum 40m Lauf

 

Ein Arbeitsblatt zu Geogebra:

Geogebra01.odt

Geogebra01-Lsg.odt

Jul 262017
 

Ich bin gerade von Elternzeit in Sommerferien gewechselt und beschäftige mich die letzten Wochen wieder vermehrt mit Theorie und interessanten Themen, die im Schulalltag doch immer zu kurz kommen.

Auf der Suche nach historisch-gesellschaftskritischen Auseinandersetzungen mit Mathematik bin ich auf das Buch “Die Berechnung der Welt” von 2014 von Klaus Mainzer gestossen, habe dies interessiert gelesen und möchte im Folgenden ein paar Gedanken zu diesem festhalten.

Mit einem historischen Abriss zu mathematischer und informatischer Theorieentwicklung stellt Mainzer im Buch fundiert seine kritische Position zu einer naiven, theoriefernen Daten-Empirie dar. In Zeiten von “Big Data“, wo die Auswertung einer bisher nicht vorstellbaren Menge von Daten auf Muster und insebesondere auf Korrelationen (Beziehungen zwischen zwei oder mehreren Merkmalen) mithilfe von Rechenleistung im gewissen Rahmen Erfolge liefert, plädiert er sympatischerweise für eine kritische mathematische und informatische Mündigkeit. Statt nur Muster zu erkennen und diese (vage) zu deuten geht es beim mathematischen Beweisen und logischen Schliessen um das “warum”, das theoriegeleitete Hinterfragen von Strukturen und das Wissen um Strategien und Grenzen der Berechenbarkeit. Der Reiz der schnellen Berechnung und Reduktion von Komplexität durch Datenanalysen statt aufwändiger mathematischer Verfahren liegt auch ökonomisch auf der Hand. Aber Korrelation von Daten ist nicht mit Kausalität überzuinterpretieren, was leider weit verbreitet ist (siehe zum Thema hier einfache Beispiele). Die Forderung nach kritischer Sicht auf Daten-Empirie leitet nicht in die relativierende Beliebigkeit, sondern in einen reflektierten Umgang mit der Erhebung und Interpretation von Daten und der Funktionsweise von Algorithmen.

Der Autor beschreibt die mathematischen Denkrichtungen und sich wandelnden philosophischen Sichtweisen auf die Welt, die von einer Suche nach einer “Weltformel” bis hin zur Entwicklung der Theorie der Turingmaschine als formales Konzept für alle modernen informatischen Rechner-Systeme und automatisierbaren Berechnungen verläuft. Dabei ist eine grundlegende Frage zur Berechenbarkeit immer, ob sich soziale Wesen und menschliche Gesellschaft überhaupt vergleichbar einer Maschine oder naturwissenschaftlicher Systeme in seiner ganz anderen Form der Komplexität erfassen lässt. Eine weitere Frage war und ist, inwieweit Prognosen auf Grundlage von beobachteten Mustern tragfähig sind, wie häufig in Naturwissenschaften der Fall, oder ob wie bei der Analyse dynamischer, nichtlinearer Systeme in der Ökonomie manche Prognosen mit zu einfachen mathematischen Modellierungen erstellt werden und nicht greifen.

Positiv finde ich auch das im Buch vorgestellte Plädoyer für integrative Forschung, die sich nicht in ihren Einzelwissenschaften vergräbt, sondern sich interdisziplinär den Herausforderungen soziotechnischer Systeme stellt. Gerade um Grenzen der jeweiligen unterschiedlichen Methodiken und Strategien in anderen Wissenschaften auszuloten, ist ein Austausch von Sozial- und Naturwissenschaften sowie den Strukturwissenschaften Philosophie, Mathematik und Informatik für die kritische Begleitung des technologischen Wandels unbedingt notwendig.

“Warum passt die Mathematik so gut auf die Welt?” wird im letzten Kapitel nicht abschliessend geklärt – dies wird vermutlich auch eine Glaubensfrage bleiben, wie ich vermute, da weder die Theorie, dass “mathematische Strukturen Konstruktionen des menschlichen Geistes” seien, noch die Theorie dass sie “reale Strukturen der Welt” seien, bewiesen werden kann.

Weitere Quellen zum Thema:

Apr 172017
 

Als Thema in der Oberstufe ist “Simulation komplexer Systeme” im Bildungsplan der Hamburger Schulinformatik verbindlich. Da ich in Studium oder bisherigem Berufsleben keine Berührung mit diesem Thema hatte, arbeite ich mich gerade schrittweise in das Thema ein.

An unserer Schule haben wir eine Lizenz für den Consideo-Modeller, mit dem sich nach Vorgaben auf das Zentralabitur vorbereiten lässt. Leider gibt es scheinbar keine freie und aktuelle Softwarelösung zu den entsprechenden Anforderungen im Zentralabitur. (siehe: http://www.hamburg.de/contentblob/4428498/cdd77f6e20d9397da7c4870273f7920d/data/abitur-a-heft-2017.pdf ab S.108) Etwas ältere Informationen zum Thema sind auch hier zu finden: http://bildungsserver.hamburg.de/simulation/

Dynamische, komplexe Systeme sind nicht ohne weiteres durchschaubar, sondern beinhalten Rückkopplungen und andere logische Verbindungen zwischen Faktoren. Hier kommt vernetzendes mathematisches und logisches Denken ins Spiel, gerade auch bei der Modellierung von Wachstumsformen und Änderungsraten. Reale Anwendungen im Themenbereich der Differenzialgleichungen in der Analysis der Oberstufe sind vielseitig, aber leider wird das Modellierungsvermögen in Schule allgemein zu wenig gefördert, so dass den Schüler_innen mathematische Abschätzungen auch zu einfachen Funktionen und Abhängigkeiten sehr schwer fallen. Dies beobachte ich vor allem im Mathematik-Unterricht, es bestätigt sich aber auch gerade beim Thema systemisches Denken und Simulationen.

Ein einfaches Beispiel für nicht-lineare Zusammenhänge habe ich aus dem Bereich Populationsentwicklungen von Insekten gefunden und auf Consideo übertragen (das liesse sich bestimmt auch gut im Mathematik-Unterricht in der Mittelstufe entsprechend vorentlastet bearbeiten)

 

Das Wirkungsdiagramm zum Modell in Consideo

Eingabe der Konstanten Werte und Gleichungen in der quantitativen Ansicht von Consideo

Simulation: Tabelle und Diagramm zur Nahrungs- und Populationsentwicklung

Interessant an dem Thema Systemdynamik finde ich, dass es eine Vielzahl an Problemen gibt, die mit diesem Instrument eingegrenzt und analysiert werden können, wenn sie nicht deterministisch fehlinterpretiert werden. Problematisch finde ich die häufig vorkommenen Modelle zu Bevölkerungsentwicklung und ähnlicher Systeme, die Stereotype reproduzieren oder (unreflektierte?) Diskriminierungen und Wertungen enthalten, wie “Das Dorf in Afrika” versus “moderner” Gesellschaften oder auch eingeengte und reduzierte Geschlechterrollen (Geburtenraten, Frauen und Mütter usw.).

Kategorisierung und “Berechenbarkeit” von Menschen hat immer etwas Widersprüchliches in sich – besonders wichtig ist hier die Begrenztheit mathematischer und informatischer Modelle hervorzuheben und Modellbildungen sowie zugrundeliegende Annahmen zu relevanten Faktoren und Kategorien nicht als objektiv und determiniert gegeben zu sehen, sondern sie kritisch zu hinterfragen. Hier zeigt sich ein wichtiger Aspekt gesellschaftlicher Einbettung von mathematisch-technischen Modellen in ihren Grenzen und Reduzierungen aber auch ihren Auswirkungen bei Interpretationen und Konsequenzen.

 

Jan 072017
 

Ich habe mein in der Broschüre “Standhalten” veröffentlichtes Material zu Weltsprachen und Statistik in einer leistungsstarken 7.Klasse ausprobiert, um Themen der deskriptiven Statistik wie “Stichprobe” und “Grundgesamtheit” zu wiederholen sowie Themen der Prozentrechnung aufzugreifen und verschiedene Darstellungsformen anhand einer Tabellenkalkulationssoftware zu üben. Zu meinem geplanten zweiten Block mit den gefärbten Weltkarten bin ich noch nicht gekommen, da wir zunächst eine Klassenarbeit schreiben mussten und diese eine gründliche Wiederholung voraussetzte. Das veröffentlichte Konzept und Material befindet sich weiter unten als pdf/doc-Anhang.

Die beiden Kompetenzen, die ich im Material benannte habe, die eine Annäherung an eine rassismuskritische Sichtweise darstellen sind die folgenden:

  • SuS können anhand des Themas Sprache Uneindeutigkeiten und Mehrfachzugehörigkeiten in globalen Gesellschaften benennen.

  • SuS können am Beispiel Weltsprache erläutern, das mathematische Erhebungen nicht rein objektiv sind, sondern immer bestimmten Prämissen bzw. gesetzten Voraussetzungen unterliegen und somit auch eine gesellschaftliche Dimension haben.

Die zweite Kompetenz sehe ich mehr als einen Prozess, der anhand verschiedener Aufgaben und Problemstellungen und bestenfalls Projekte immer wieder betont werden sollte. Mathematik besteht im Verständnis der Schüler_innen überwiegend aus formal gesetzten Regeln, objektiven Maßstäben und die gesellschaftlichen Dimensionen spielen höchstens in Form von mehr oder weniger “realistischen” Textaufgaben im klassischen Mathematikunterricht ganz am Rande eine Rolle.

Uneindeutigkeiten und Mathematik erscheinen vielen Schüler_innen geradezu als Gegensatz. Vermutlich ist das auch ein Grund, weshalb fächerübergreifende und -verbindene Projekte nach meiner Erfahrung in Schule eher die Ausnahme bilden. Modellierung ist in der Lehrer_innen-Ausbildung gefragt, aber im Schulalltag kaum präsent. Ein Grund ist sicher, dass das Bearbeiten realer, im kontext eingebetteter Probleme nicht nur einen Umbau von Mathematik-Unterricht mit dementsprechendem Arbeitsaufwand für alle Beteiligten bedeutet, sondern auch, dass Zeiträume für das selbstständige Arbeiten der Schüler_innen bereitgestellt werden müssen.

Genau hier zeigt sich in meiner Praxis eine der Hürden, größere, projektorientierte mathematische Vorhaben anzugehen. Meine Mathestunden sind begrenzt und viele Themen und Inhalte laufen mir davon, wenn ich mehrere Doppelstunden auf ein Kontext-“Experiment” verwende. Eine Überlegung wäre ein Projekthalbtag o.ä., um in Ruhe auch Zeit für Recherchen und weitergehende Fragen zu haben. Dies ist nicht unmöglich – eine ähnliche Aktivität bieten z.B. die mathematischen Stadtspaziergänge, die an der Universität Hamburg entwickelt wurden und sich über etwa vier Schulstunden am Stück ziehen. Hier kommt es sicher auf Wohlwollen der Schulleitung für Projekte an und auf ein motiviertes (Mathe)Kollegium.

Anhand von Äußerungen und dem Verlauf des Unterrichtsgespräches über die Bedeutung von Weltsprachen, Statistiken und Uneindeutigkeiten wurde aber deutlich, dass meine Schüler_innen den Kontext keineswegs “unmathematisch” oder unpassend fanden, wie ich vermutet hatte (Nach dem von mir erwarteten Motto: “Warum machen wir kein richtiges Mathe-Thema”) sondern weckte Neugier und Interesse. Einige Schüler_innen informierten sich nebenbei, wo welche Sprache gesprochen wird und wir sprachen auch über Kolonialismus. Vermutlich wäre die Diskussion in einem älteren Jahrgang tiefergehender gewesen, aber je nach Schule ist der innermathematische Gehalt des Unterrichtsvorhabens vielleicht doch eher für eine 7.Klasse geeignet als für Klasse 8 oder 9.

Inwieweit hat nun ein solcher Mathematik-Unterricht etwas mit Rassismuskritik zu tun? Meine allgemeinen Überlegungen zur Verknüpfung beider Themen habe ich in einem einleitenden Artikel in o.g. Broschüre dargestellt, diese hänge ich ebenfalls als pdf an. Eine schöne Ergänzung zu diesem Thema habe ich auf Zeit-online unter “Wenn auf der Welt nur 100 Menschen lebten” gefunden und dies meinen Schüler_innen im Anschluss an die Weltsprachen-Statistik zur Diskussion gestellt. Soziale Fragen werden mathematisch unterfüttert, visualisiert und bereichert. Eine Sensibilisierung Jugendlicher für die gesellschaftliche Komplexität, die Mathematik versucht greifbarer zu machen (mit all ihren fachlichen Begrenztheiten!) kann nach meiner Auffassung einen Beitrag zu einem reflektierten, emanzipatorischen und auch rassismuskritischen Weltbild leisten.

Über kritische Anregungen und/oder Praxisberichte zu meinen Überlegungen und Materialien, insbesondere aus mathematikdidaktischer Sicht, freue ich mich!

Anhang:

Dec 172015
 

Mathematik ist nicht trocken, sondern voller Phantasie, nicht langweilig, sondern voller Schönheit, logisch, aber dennoch von ungeheurer Kreativität, uralt, aber voll neuer Ideen.” (Aus dem Vorwort zum Buch)
Auf der Suche nach Inspirationsquellen und Ideen für meine Schüler/innen in der Oberstufe, die alle eine Ausarbeitung über ein mathematisches Thema schreiben müssen, habe ich mir von einem Kollegen der Mathe-Fachschaft das Buch “Oh Gott, Mathematik!?” ausgeliehen und möchte hier ein paar Eindrücke schildern und damit auch das Buch empfehlen. Continue reading »